Teoría de Markowitz. Como hallar la cartera óptima

Escrito por Manuel el marzo 30, 2014

Hola,

Durante la semana pasada estuve pensando en empezar a escribir sobre gestión de carteras, Markowitz, CAPM…

Como siempre he hecho en mis análisis, he utilizado MATLAB para realizar esta entrada en el blog. Mi objetivo es realizar un artículo interesante y que no haya que tener mucho conocimiento sobre MATLAB para entender los resultados por lo que no he comentado nada de código, solo indico la función principal utilizada.

He creído conveniente empezar por un análisis de la teoría de carteras de Markowitz.

El resumen de la teoría de Harry Markowitz viene a decir lo siguiente: el inversor debe tratar la cartera de activos como un único ente, debe estudiar las características de riesgo y rentabilidad de forma global y no tratar los valores de forma individual con el riesgo y rentabilidad que espera de cada uno de ellos. En definitiva, se basa en el concepto de diversificación que tanto se escucha y lee en el mundo financiero.

El artículo que estoy escribiendo trata de la llamada Frontera de eficiencia de Markowitz que crea un número de carteras en base a unos activos elegidos, en este caso he configurado el programa para que sean 50 carteras. Se van a crear 50 carteras que no tienen restricciones  y otras 50 que las tienen.

Si introducimos la posibilidad de que los inversores combinen su cartera con riesgo con una activo libre de riesgo (he eligido una rentabilidad del 3%) podemos hallar la cartera óptima con riesgo. En cada caso será la que se encuentra en el punto de tangencia entre la CAL y la frontera eficiente, con y sin restricciones.

Para este ejercicio he escogido 30 valores estadounidenses de 5 sectores distintos tomando 6 valores de cada sector. Los sectores que he elegido son los que más me gustan a mí y son Energy, Finance, Health, Services y Technology.

Los valores escogidos son los siguientes:

carteras

Cabe destacar que los sectores de cada una de estas compañías han sido clasificados según la información de http://es.investing.com/

Para la descarga de las cotizaciones he utilizado el script que desarrollé hace bastante con el que se puede descargar un histórico de los precios de apertura, cierre, más alto, más bajo, volumen y cierre ajustado de la página de Yahoo Finance. Dejo la URL al artículo:

http://www.finanzascuantitativas.net/2011/09/25/carga-de-datos-automatica-en-matlab-a-partir-de-yahoo-finance/

El programa desarrollado descarga las cotizaciones de los valores asignados y calcula los rendimientos, media, varianza y covarianza de cada uno de ellos, todos anualizados. Estos valores calculados son para las cotizaciones de las últimas 250 sesiones.

Se definen una serie de restricciones en la política de inversiones. Las restricciones que yo he definido son las siguientes.

  • La primera y que se tiene en cuenta en las dos carteras (con restricciones y sin restricciones) es que no se permiten en las carteras las posiciones cortas. Esta restricción la he tenido en cuenta para facilitar el análisis que he realizado.
  • Las siguientes restricciones solo afectan a la cartera con restricciones:
    • Cada activo deberá tener un peso en la cartera como mínimo del 2% y como máximo del 5%.
    • Cada sector debe tener un peso total entre el 10% y el 70%.

A partir de estos datos utilizo la función de MATLAB “frontcon” para obtener los resultados y poder realizar el análisis:

http://www.mathworks.es/es/help/finance/frontcon.html

A continuación están los resultados y conclusiones obtenidas:

En la siguiente gráfica se encuentra el análisis de la teoría de Markowitz:

MARKOWITZ_Blog

Como se observa en el gráfico la frontera eficiente con restricciones (línea roja) es menos eficiente que la frontera sin restricciones ya que se están limitando las rentabilidades máximas y volatilidades mínimas, al indicar las restricciones de los pesos que han de tener los activos en la cartera. Es decir, para un mismo nivel de riesgo se obtiene una mayor rentabilidad en la frontera sin restricciones (línea verde) y para un mismo nivel de rentabilidad se obtiene un menor riesgo. Además la diferencia entre estas rentabilidades es bastante acentuada. Para un riesgo del 11-12% en la cartera sin restricciones se obtendría una rentabilidad del doble.

Se nota en la relación rentabilidad-riesgo que en este último año hemos vivido un mercado muy alcista en USA. Si no hubiera sido así, esta curva de rentabilidad-riesgo no estaría tan acentuada.

De las 100 carteras que se han obtenido como resultado (50 aplicando restricciones y 50 sin aplicarlas), se van a mostrar las carteras con la máxima rentabilidad, con la mínima varianza y las carteras óptimas en base al riesgo y la rentabilidad.

CARTERAS SIN RESTRICCIONES

Cartera máxima rentabilidad anual:

Es igual al activo con mayor rentabilidad que es Micron Technology, 88,21%

Cartera mínima Varianza, varianza: 8,0757% y rentabilidad 19,35%

sin_restricc_MinVar

Cartera Óptima (relación riesgo – rentabilidad), rentabilidad 45,64% y varianza 10,75%:

sin_restricc_Optima
CARTERAS CON RESTRICCIONES

Cartera máxima rentabilidad anual (28,21%):

con_restricc_MaxRen

 Cartera mínima Varianza, varianza: 10,2936% y rentabilidad 20,02%

con_restricc_MinVar

 Cartera Óptima (relación riesgo – rentabilidad). Rentabilidad 27,66% y varianza 11,57%:

con_restricc_Optima

Se puede observar como en el caso de la volatilidad en la cartera con restricciones los efectos derivados de la diversificación son menores, ya que el riesgo es mayor en ésta que en la cartera sin restricciones.

Espero que haya resultado de interés. Muchas gracias por leerme.

30Mar

VaR semanal de Europa, EE.UU y Japón – Semana 28/05/2012

Escrito por Manuel el mayo 26, 2012

Buenas tardes, una semana más voy a presentar el riesgo semanal de mercado para los índices mundiales seguidos.

Esta semana voy a presentar tres novedades bastante importantes, sobre todo a la hora de la tabla de visualización de los cálculos.

La primera novedad es que me he dado cuenta que creo que también vale la pena mostrar el riesgo diario de cada uno de los índices para la semana. Lo ideal sería que este riesgo se recalculara cada uno de los días, es decir, que el riesgo del martes se recalcule, ya que no va a ser igual al del lunes, van a ser casi similares. El problema de esto no es el cálculo en sí, si no mi tiempo, el cual es nulo entre semana, aunque me gustaría poder presentar el riesgo diario y una tabla con la evolución del riesgo para cada uno de los índices, me es imposible ahora mismo. Si algún día empiezo a tener algo de tiempo, podría hacerlo con el IBEX 35 por ejemplo, pero ahora mismo lo descarto. De todas formas el riesgo diario que se va a empezar a presentar a partir de ahora es el que se usa para calcular el semanal, por lo que nos sirve de orientación perfectamente.

Quiero dejar claro que este VaR diario ha sido sobrepasado por ejemplo por el IBEX 35 tres veces en lo que va de año, la última vez, la semana pasada, más exactamente, el 23 de Mayo. Esta apreciación nos enseña que estamos expuestos ante altos riesgos, no solo en datos fundamentales, sino como en datos estadísticos y técnicos.

La segunda novedad es que debido a que alguna semana que otra, algún mercado cierra, por ejemplo este lunes cierra Wall Street, voy a calcular el riesgo semanal real, por lo que veremos que el porcentaje baja bastante para los índices americanos. Esto no quiere decir que el riesgo haya disminuido, sino que la semana es más corta y por tanto el riesgo de perder es menor. Esta apreciación será mejor vista más adelante con las muestras del riesgo diario, al que no influye que haya un día de fiesta, ya que es el riesgo a 1 día y nos da exactamente lo mismo que sea el riesgo del lunes que del martes. Intentaré mirar algún calendario en alguna web que me indique estos días de fiesta, si alguien sabe una web en la que puedo encontrar algo así, por favor, que no dude en dejarme un comentario.

La tercera novedad, de la cual llevo bastante tiempo hablando, es un gráfico que iré actualizando todas las semanas con la evolución de los riesgos predichos y con su cotización, es decir, por cada índice se muestran dos líneas, una con la cotización semanal real y otra con las predicciones. Si todo funciona correctamente, la línea de la cotización debe ir por encima de la línea de la predicción. A día de hoy no se encuentran en el gráfico ni MERVAL ni Eurostoxx 50 ya que las muestras que tengo no son tan amplias como la del resto de índices, su inclusión la realizaré próximamente.

Me hubiera gustado hacer la gráfica con MATLAB, próximamente así será, ya que los gráficos son vectoriales y me gustan mucho más que los de EXCEL. Además de poder realizar marcas mucho más fácil que en EXCEL, por ejemplo una cruz o una estrella en el momento en que se crucen las líneas de cotización y predicción. Esta es otra tarea que incluyo en mi lista de trabajos pendientes. Perdonad si no se ve muy clara, pero no es mi especialidad el hacer gráficos en EXCEL.

El día que me proponga hacer el estudio diario del IBEX (aunque no tengo tiempo, ganas no me faltan), presentaré una gráfica similar pero diaria, y en la que mostraré en una sub-gráfica inferior la volatilidad para cada día. De esta forma se podrá comprobar que los días en los que el VaR diario ha sido sobrepasado, la volatilidad ha sido mucho más alta de lo normal.

Bueno, a continuación dejo la tabla de riesgos:

ÍNDICE

COTIZACIÓN

RIESGO DIARIO

RIESGO SEMANAL

PÉRDIDAS SEMANALES

POSIBLE COTIZACIÓN

IBEX 35

6543

3,207%

7,17%

469,20

6073,80

DAX

6339,94

2,977%

6,66%

422,04

5917,90

CAC 40

3047,94

3,115%

6,97%

212,30

2835,64

MIB

13154,8

3,397%

7,60%

999,23

12155,57

FTSE 100

5351,53

2,631%

5,88%

314,84

5036,69

NASDAQ 100

2527,05

2,959%

5,92%

149,55

2377,50

S&P 500

1317,82

2,926%

5,85%

77,12

1240,70

DOW JONES

12454,83

2,651%

5,30%

660,36

11794,47

NIKKEI 225

8580,39

3,122%

6,98%

599,00

7981,39

MERVAL

2340,26

3,685%

8,24%

192,84

2147,42

EUROSTOXX 50

2161,87

3,124%

6,99%

151,02

2010,85

Como se observa, el riesgo sigue aumentando en Europa  poco a poco, estos cálculos reflejan las tensiones que se están viviendo respecto a Grecia y la incertidumbre de la moneda europea, el euro está en decadencia y en una espiral bajista respecto al dólar.

Esta semana no podemos comparar el riesgo de los índices de Wall Street, pero para hacernos una idea, el riesgo del S&P es muy similar al del DAX, como se ve en el riesgo diario.

Una semana más vemos que el índice menos riesgoso es el inglés FTSE, aunque el riesgo del DOW JONES le pisa los talones. Que no nos extrañe que cualquier semana cercana, le quite el puesto de ser el índice más seguro de los estudiados aquí.

El MERVAL, por su parte, va a ser difícil que pierda la categoría de ser el índice con más riesgo, aunque con el panorama que hay en Europa, no nos extrañe que el MIB italiano se acerque cada vez más, aunque según mi visión, lo veo muy complicado.

En las próximas semanas, puede ser que se incorpore a nuestra tabla el índice chino, no lo descarto, pero tampoco lo afirmo con rotundidad. Voy ya muy justo de tiempo con estos índices, y tampoco ningún lector me lo ha pedido, por lo que estudiaré la viabilidad.

Aquí os dejo la tabla con la evolución (podéis pinchar en ella para verla en su tamaño real):

Una vez más, muchísimas gracias por leerme, es un placer escribir.

26May

VaR semanal de Europa, EE.UU y Japón – Semana 07/05/2012

Escrito por Manuel el mayo 5, 2012

Hola, aprovechando que al final no he podido pasarme por Bolsalia, he escrito hoy el post con el análisis de los riesgos para esta semana.

Antes de proseguir con el análisis, quiero dar las gracias a los que me habéis votado en el concurso del mejor blog financiero de 2011 en la página bolsa.com. No he resultado ganador ni mucho menos, pero estoy bastante orgulloso de haber tenido más votos que el blog ganador, que se ha proclamado con 4 votos únicamente, cosa de los jurados.

En fin, los riesgos calculados en los índices europeos la semana pasada, vuelven a tener la peculiaridad de los 4 días. Este “problema” está explicado en el post del 16/04/2012, en él se explica cómo calcular el VaR a 4 días, pero ya os adelanto que no se ha sobrepasado en ninguno de los índices que se siguen.

Para esta semana se tienen novedades muy importantes, el NIKKEI ha bajado su riesgo semanal por debajo del 7%, sin embargo el MIB italiano ha sobrepasado el nivel del 7,5% que rozaba la semana pasada situándose en 7,702% habiendo subido algo más de dos décimas. Nuestro IBEX sigue aproximándose al nivel del 7% lentamente y con las altas volatilidades que está sufriendo tarde o temprano acabará sobrepasando dicho nivel.

A continuación tenéis la tabla con los riesgos para esta semana:

ÍNDICE

COTIZACIÓN

RIESGO

PERDIDAS

POSIBLE COTIZACIÓN

IBEX 35

6876

6,955%

478,226

6397,77

DAX

6561,47

6,422%

421,378

6140,09

CAC 40

3161,97

6,904%

218,302

2943,67

MIB

13918,57

7,702%

1072,008

12846,56

FTSE 100

5655,06

5,631%

318,436

5336,62

NASDAQ 100

2637,92

6,640%

175,158

2462,76

S&P 500

1369,1

6,152%

84,227

1284,87

DOW JONES

13038,27

5,917%

771,474

12266,80

NIKKEI 225

9380,25

6,948%

651,740

8728,51

MERVAL

2215,34

7,754%

171,777

2043,56

EUROSTOXX 50

2248,34

7,010%

157,609

2090,73

Una de las mayores subidas del riesgo la ha experimentado el debutante de la semana pasada, el EUROSTOXX 50, esta semana ha sobrepasado el límite del 7% habiendo aumentado en 0,22%. El MERVAL, por su parte, sobrepasa el 7,75% y se acerca peligrosamente al 8%, un nivel de riesgo  bastante alto, en el que podría verse que las pérdidas semanales han sido sobrepasadas debido a su alta volatilidad.

El DOW JONES, ha bajado del 6% lo cual indica un riesgo bajo, como por ejemplo el del FTSE, que aunque haya aumentado ligeramente, no tiene ninguna importancia.

Alemanes y franceses, aunque en esta semana han tenido pérdidas y su nivel de riesgo ha aumentado un poco, siguen bastante estables, cosa que esta semana que viene puede cambiar por la volatilidad que puede generar el resultado de las elecciones francesas.

Esta semana voy a hacer una aclaración respecto al S&P 500, como sabéis el VIX (índice que mide la volatilidad del S&P 500) esta semana ha aumentado en un 1,5% respecto a su nivel anterior semanal y como se ve en la tabla, el riesgo del S&P 500 ha descendido, ¿cómo puede ser eso? Es muy sencillo, en el cálculo que yo efectúo para el VaR, cojo los datos históricos de dos años, y probablemente, lo que ha pasado es que la semana que ha salido tenía una volatilidad más alta que la de la semana pasada. Esto lo que quiere decir, no es que el análisis sea incorrecto, sino que hay que elegir un rango temporal para los datos históricos y que yo me he decantado por dos años porque quiero ver un plazo medio/largo, es decir, una muestra amplia para que haya altibajos y lateralidades, es la mejor forma de hacer una simulación, por lo menos a mi me lo parece. A continuación os pongo el gráfico de la evolución del VIX a una semana y a 2 años, para que se entienda mejor lo comentado.

Muchas gracias por leerme de nuevo. Espero que os haya gustado el análisis semanal. Es un placer.

5May

VaR semanal de Europa, EE.UU y Japón – Semana 16/04/2012

Escrito por Manuel el abril 14, 2012

Hola, después de esta semana tan agitada en los mercados tenía muchas ganas de presentar mi análisis del riesgo de los índices pero quizás tenía más ganas de ver si se ha sobrepasado el VaR en nuestro IBEX.

En el post de la semana pasada, comentaba que el VaR que presenté era a 5 días y como recordaréis, el lunes la bolsa estaba cerrada por lo que voy a proceder a comprobar si se ha sobrepasado el VaR a 4 días. Lo primero que hay que hacer es calcular el VaR a 1 día y luego el de 4 días. El VaR que yo calculo en mi programa es a 1 día y luego lo paso a 5, todo ello automáticamente, como no quería modificar el programa lo haré manualmente:

VaR1 = VaR5 / raíz(5) = 0,06884/2,23606=0,0307862

VaR4 = VaR1 * raíz(4) = 0,0307862*2=0,061572

Dado que la caída semanal ha sido del 5,3%, el cálculo del VaR ha funcionado, por lo que el riesgo de la cartera siguiendo este indicador hubiera estado bien cubierto, pero ¡¡¡ojo!!! Que por el mismo cálculo se puede comprobar claramente que el viernes superamos el VaR diario (3,078%) con una caída del 3,58% superando en casi medio punto porcentual los cálculos por lo que claramente la volatilidad histórica en dos años para el IBEX se ha quedado bastante corta. Dicho esto solo quiero decir (ya lo he dicho alguna vez) que antes de basar nuestras inversiones en el VaR, los cálculos deben ajustarse muchísimo y nunca basarse únicamente en ellos.

Una vez resuelto el problema que quedó la semana pasada pendiente, voy a presentar los cálculos para esta semana. Esta semana va a ser crucial en los mercados, sobre todo en Europa y más concretamente en España e Italia, si siguen las caídas acentuadas que estamos teniendo durante estas dos últimas semanas, nos vamos a los niveles más bajos de esta crisis en los que por ejemplo el IBEX llegó a cotizar alrededor de los 6800, un nivel que se hace de lo más asequible viendo que estamos únicamente 450 puntos por encima.

A partir de esta semana va a estar presente también el índice argentino, el MERVAL, por la petición que me ha hecho uno de los lectores del blog. Ya sabéis que acepto peticiones si os interesa el riesgo semanal de algún índice que no se esté incluyendo. Además he añadido una columna con la posible cotización para que sea más sencillo el seguimiento del riesgo. Ahí va la tabla:

ÍNDICE

COTIZACIÓN

RIESGO

PERDIDAS

POSIBLE COTIZACIÓN

IBEX 35

7250,6

6,903%

500,508

6750,09

DAX

6583,9

6,393%

420,908

6162,99

CAC 40

3189,09

6,804%

216,985

2972,10

MIB

14359,5

7,451%

1069,926

13289,57

FTSE 100

5651,79

5,569%

314,748

5337,04

NASDAQ 100

2698,99

6,752%

182,235

2516,75

S&P 500

1370,26

6,287%

86,148

1284,11

DOW JONES

12849,59

6,057%

778,299

12071,29

NIKKEI 225

9367,99

7,163%

671,029

8696,96

MERVAL

2502,08

7,646%

191,309

2310,77

Es relevante como semana a semana va subiendo el riesgo en los índices español e italiano rozando el IBEX el 7% y el MIB el 7,5%. El riesgo del NIKKEI ha subido más de medio punto en una sola semana, si nos fijamos en el análisis del 25 de Marzo, tenía un riesgo de 7,18% por lo que su variación es muy grande de una semana para otra. Una vez más se demuestra que la City sigue estando al margen y aunque también cae va a parte teniendo un riesgo muy bajo comparado con los otros índices. Esta semana el premio para el índice con más riesgo se lo lleva el debutante en el estudio, el MERVAL, habrá que ver como evoluciona a lo largo de las semanas.

Espero que una vez os sirva de pequeña referencia este estudio del riesgo. Muchas gracias por leerme.

14Abr

VaR semanal de Europa, EE.UU y Japón – Semana 09/04/2012

Escrito por Manuel el abril 7, 2012

Hola ante todo, me gustaría disculparme por la falta del post de la semana pasada pero me pilló de vacaciones y sin ordenador (intento no llevarme el ordenador) ya que con el móvil me es suficiente para seguir los mercados y a la gente que leo por twitter.

Esta semana he realizado los cálculos y me he llevado una gran sorpresa: el VaR del IBEX no ha subido ni ha bajado lo que quiere decir que las cotizaciones de estas dos últimas semanas que nos han llevado al abismo de los 7600 intradía no han hecho que suba el riesgo por lo que la volatilidad ha seguido constante y no ha aumentado, lo cual, dentro lo malo, no es tan malo. Al contrario de cómo se puede observar en el DAX, el riesgo ha aumentado, ahora es un 0,162% mayor lo cual es debido a su alta volatilidad esta última semana sobre todo al igual que ha ocurrido con el CAC en el que el riesgo es ahora 0,167% mayor.

A continuación os muestro la tabla para esta semana. Hay que tener en cuenta que esta semana los mercados no abren el lunes y ya que este VaR está calculado para una semana de 5 días podríamos calcular cogiendo el VaR diario el riesgo para 4 días, pero como realizo los cálculos con el programa ya hecho no he podido ponerme a modificarlo, si alguien desea los cálculos para 4 días debe calcular el VaR diario y multiplicarlo por la raíz de 4 en lugar de la de 5 para el semanal, ya que esta semana solo tiene 4 días los mercados abiertos como os he comentado.

ÍNDICE

COTIZACIÓN

RIESGO

PERDIDAS

IBEX 35

7660,5

6,884%

527,348

DAX

6775,26

6,382%

432,39

CAC 40

3319,81

6,791%

225,448

MIB

15216,02

7,423%

1129,48

FTSE 100

5723,67

5,559%

318,178

NASDAQ 100

2762,5

6,756%

186,6345

S&P 500

1398,08

6,282%

87,8273

DOW JONES

13060,14

6,092%

795,623

NIKKEI 225

9688,45

6,551%

634,690

Una cosa que también ha llamado mucho mi atención ha sido la disminución del riesgo en el NIKKEI,  la subida en el riesgo del NASDAQ que es mayor un 0,436% respecto al de hace dos semanas, la bajada en el riesgo de S&P 500 y la subida en el del DOW JONES.

Como siempre, espero que os sirva de ayuda y comentaros que estoy preparando un nuevo programa en MATLAB que hace la valoración de opciones CALL y PUT tanto europeas como americanas aplicando el método binomial y como siempre de subyacentes del mercado utilizando mi script de descarga de cotizaciones de forma automática para MATLAB.

Muchas gracias por leerme.

7Abr